Ordine e Disordine

La Teoria “atomica” della Materia, introdotta da Democrito ed altri filosofi greci nel 600 A.C., fu praticamente abbandonata per un tempo lunghissimo. Ancora nel corso del 1800, negli ambienti scientifici della Fisica, il modello atomico non era accettato in quanto non dimostrabile. Esso era condiviso invece nel mondo della Chimica poiché si evidenziava sperimentalmente come i vari elementi chimici si combinassero fra loro in proporzioni tali da far intuire che fossero composti da atomi le cui proprietà rendevano possibili le reazioni osservate. Nel settore della Chimica infatti già nel 1869 in chimico russo Mendeleev elabora la Tavola periodica degli elementi nella quale essi sono tutti caratterizzati da un numero atomico.

Erano quelli gli anni della grande rivoluzione industriale, che si realizzava attraverso la sempre più vasta disponibilità di “macchine” ideate e prodotte a beneficio delle più disparate attività umane quali l’edilizia, la manifattura, la viabilità, i trasporti, la navigazione e tante altre, a volte non sempre positive, come, ad esempio la guerra.

Fra queste macchine la più importante fu senza dubbio la macchina a vapore. Schiere di ingegneri facevano a gara nel progettare macchine a vapore sempre più potenti da istallare su navi e locomotive. Il problema però era che nessuno ancora capiva quali fossero i principi che stavano alla base del funzionamento di queste macchine. Spesso si cercava di renderle più efficienti non attraverso un metodo scientifico basato su una teoria consolidata ma in modo empirico e casuale.

Il settore della Fisica che cominciò ad occuparsi delle macchine a vapore, e, più in generale, dei processi di trasformazione del calore in energia meccanica aveva però già un nome: Termodinamica.

Ma nella prima metà del 1800 le leggi e i principi di questa nuova Teoria non erano ancora certamente del tutto accettati e verificati.

Il primo principio della Termodinamica si occupa dell’Energia, ed asserisce che essa non si crea e non si distrugge, ma si “trasforma”. Vi sono ad esempio trasformazioni del Calore (che è una forma di energia) in Movimento (che è un’altra forma di energia).

Questa trasformazione può realizzarsi in modo artificiale attraverso le macchine di cui sopra. Ma molti simili processi avvengono spontaneamente anche in natura; basti pensare alla brezza ventosa provocata dal surriscaldamento del mare.

In verità il primo principio era già noto da tempo e la Termodinamica gli diede solo una veste più formale. Non era però chiaro il motivo per cui avvenissero e fossero necessarie queste continue trasformazioni di energia e soprattutto quale fosse il meccanismo che le provocava. Nell’Universo sembrava che tutto andasse in una certa direzione e non in un'altra, ma cosa era che determinava la direzione del divenire?

Il secondo principio della Termodinamica ha proprio lo scopo di dare una spiegazione a tutto questo. Fu il fisico tedesco Rudolf Julius Emanuel Clausius a formalizzare e fornire una veste matematica al secondo principio. Clausius sostiene che occorre associare alla Materia, oltre alla Energia, una seconda caratteristica a cui egli da nome di “Entropia”.

Volendo mettere in relazione queste due caratteristiche, possiamo dire che L’Energia è una proprietà “statica” della Materia e ne fornisce solo le capacità potenziali. Un sasso che si trova a grande altezza è dotato di alta energia potenziale ed ha la capacità, cadendo, di produrre gravi danni nei confronti di tutto ciò che colpisce. Un liquido ad alta temperatura può trasmettere il calore ad altri corpi e, ad esempio, può provocare gravi ustioni al corpo umano. Questi sono entrambi elementi che possiedono un alto livello di energia ma di tipo diverso: il sasso possiede energia potenziale di tipo meccanico, il liquido di tipo termico.

L’Entropia è invece una proprietà “dinamica” della Materia. Essa stabilisce il “dinamismo” dell’Universo, ossia la direzione nella quale tutte le trasformazioni di energia possono avvenire spontaneamente. Quando il sasso che cade colpisce il terreno tutta la sua energia meccanica si trasformerà in calore. Ma quel calore prodotto non potrà mai più essere interamente raccolto e trasformato di nuovo in energia meccanica. I corpi possiedono energia di vario tipo ma le energie non sono tutte uguali. Esistono forme energie più “pregiate” le quali possono essere integralmente trasformate in altre forme, e forme di energia più “degradate” a cui non è consentita una trasformazione integrale verso una forma più pregiata.

L’energia meccanica è una forma di energia pregiata mentre il calore è una forma di energia degradata. L’Entropia determina proprio il livello di degradazione dell’Energia posseduta da un corpo ed il secondo principio della Termodinamica stabilisce che in un sistema isolato il livello di degradazione della Energia posseduta, ossia la sua Entropia, non può mai spontaneamente diminuire, ma solo aumentare o, al più, rimanere costante. Matematicamente questo principio si esprime tramite la disequazione:

ΔS ≥ 0

In essa l’Entropia è rappresentata dalla lettera S e col simbolo Δ si identifica la sua variazione nel tempo. La relazione ci dice che l’Entropia non può mai spontaneamente diminuire.

Clausius però, pur avendo dato una veste matematica al secondo principio della Temodinamica, non ne aveva fornito una interpretazione plausibile. In altre parole, la disequazione precedente riusciva a spiegare perché accadessero i fenomeni di trasformazione di energia postulati dal primo principio, ma non riusciva a dare una spiegazione plausibile di se stessa. Cosa era che rendeva più o meno degradata l’Energia? Cosa realmente era l’Entropia? Quale era il motivo più profondo che causava la sua continua crescita?

La risposta a queste domande fu data solo alla fine del 1800 dal fisico austriaco Ludwig Eduard Boltzmann.

Ma per fornire questa risposta egli dovette riconsiderare la struttura intima della materia, riportando in auge il pensiero dei filosofi greci, in primis di Democrito, relativamente al fatto che la materia fosse composta di piccolissimi atomi che si muovono casualmente nello spazio vuoto.

Per spiegare l’Entropia, secondo Boltzmann bisogna accettare il fatto che i corpi, e quindi, per esempio, anche l’acqua allo stato di vapore, contenuta in un recipiente molto caldo e pressurizzato, come quello visualizzato nella parte sinistra della seguente figura sia composta da minuscole molecole che si muovono casualmente.

Se si suppone che un gas sia composto da atomi o da molecole si riescono a spiegare tante caratteristiche dei corpi che, altrimenti, risulterebbero difficilmente interpretabili: ad esempio, la pressione o la temperatura.

Il gas contenuto nel recipiente esercita sulle pareti una "pressione". Ma da cosa è generata esattamente questa pressione? Pensando il gas come insieme di molecole, è evidente che esse, durante il loro moto, vanno ad urtare contro le pareti interne del recipiente, e rimbalzando all’indietro, trasmettono una forza sulla parete che è da loro colpita. La “pressione” non è quindi altro che la somma risultante di tutte le forze trasmesse alle pareti da tutti gli atomi che le urtano.

Il gas contenuto nel recipiente possiede anche una “temperatura” che può essere misurata da un termometro e che è indice di una certa quantità di calore posseduta dal gas stesso. Ma cosa è esattamente questa quantità di calore? E’ evidente che ogni atomo che si muove all’interno del gas possiede una sua quantità di energia cinetica. Il calore posseduto dal gas non è quindi altro che la somma di tutte le energie cinetiche degli atomi che lo costituiscono.

Il gas sarà tanto più caldo quanto più velocemente viaggiano le particelle al suo interno, e la sua temperatura è semplicemente la misura della velocità media delle particelle.

Queste considerazioni fanno già capire quanto sia conveniente pensare la materia come composta da atomi. Il calore, quella strana forma di energia che fino ad allora era stata pensata come un misterioso fluido che si trasferiva da un corpo ad un altro, altro non diventava che la somma delle energie meccaniche di movimento possedute dagli atomi. Nel caso dei corpi aeriformi o liquidi il calore si trasferisce dall’uno all’altro tramite lo scambio reciproco degli atomi. Nel caso dei corpi solidi, i loro atomi sono fissi, ma vibrano continuamente attorno ad una certa posizione; il calore si trasmette da un corpo ad un altro quando vengono a contatto in quanto i livelli di vibrazione degli atomi del corpo più caldo si trasmettono verso il corpo più freddo.

Ma il grande merito di Boltzmann fu quello di aver capito che, considerando la Materia composta da innumerevoli particelle, emergono in essa delle proprietà speciali che non sarebbero potute esistere per una Materia non particellare ma continua.

Questi sistemi particellari, se composti da innumerevoli individui, si comportano in modo diverso rispetto a come si comporterebbero se fossero formati solo da pochi individui. Per capire meglio questo comportamento, basterebbe ricordare ciò che accadeva durante la pandemia da Codiv-19 del 2020.

Durante il periodo estivo, quando il contagio era quasi scomparso, ogni giorno i notiziari annunciavano la presenza di poche decine di contagi. In presenza di un numero così basso di nuovi contagiati tutte le previsioni erano incerte. Infatti, dopo pochi giorni, potevamo aspettarci addirittura che i contagi si estinguessero; ma potevamo anche aspettarci un loro raddoppio! Ciò in quanto, essendo il numero dei contagiati così esiguo, essi avrebbero potuto, casualmente, essere tutte persone responsabili che si mettevano subito in quarantena, oppure essere tutte poco attente e contribuire ad una forte diffusione del virus. Questa situazione così aleatoria non può invece presentarsi quando il contagio è molto diffuso e si è giornalmente in presenza di decine di migliaia di contagiati. Se, in un certo giorno vi sono 30.000 nuovi contagiati, non c’è nessuna speranza che dopo breve tempo essi scendano improvvisamente a zero. Ciò in quanto è evidente che su 30.000 contagiati vi saranno persone di tutti i tipi che si comporteranno in modo molto diversificato.

Questo esempio ci fa capire che, applicando la teoria della probabilità ad un sistema formato da pochissimi individui, il risultato che si ottiene è generalmente molto aleatorio. Non possiamo sperare che in questo caso la teoria ci fornisca dei risultati certi riguardo al comportamento dell'intero gruppo di individui. Al contrario, quando un sistema è composto da moltissimi individui, anche se il comportamento del singolo individuo fosse aleatorio, saremmo comunque in grado di ottenere un risultato affidabile circa il comportamento dell’intera popolazione di individui. Anzi si può dire che il risultato è tanto più certo quanto più è grande il numero di individui all’interno della popolazione.

Ogni porzione di Materia è composta da un numero elevatissimo di atomi, per cui, applicando il precedente ragionamento, possiamo studiarne il comportamento in modo affidabile e preciso. Osservando ad esempio le molecole d’acqua allo stato aeriforme della figura, esse si muovono a caso in tutte le direzioni con velocità diverse. Misurando la sua temperatura del gas possiamo valutare la velocità media Vm della singola molecola. L'energia posseduta dal gas dipenderà proprio dal valore Vm di questa velocità media.

Immaginiamo ora che tutte le molecole d’acqua vengano estratte dal recipiente pressurizzato, e portate a bassissima temperatura. Otterremmo la biglia di ghiaccio che è raffigurata nella parte destra della precedente figura. Poiché nella biglia è contenuto lo stesso numero N di molecole aventi ognuna la stessa massa di prima, è subito evidente che, se la biglia viaggiasse nello spazio a una velocità V uguale alla precedente velocità media Vm, essa possederebbe una energia cinetica del tutto uguale a quella che era posseduta dal gas.

Il problema è che, anche se questi due sistemi, il gas e la biglia, hanno la stessa energia, questa però non è immediatamente “utilizzabile” allo stesso modo. La biglia che viaggia con velocità V potrei pensare di usarla come proiettile per eseguire un foro su una parete, ma l’energia delle molecole del gas, che vanno tutte in direzioni diverse, non la posso trasformare facilmente in un'altra forma di energia meccanica. Potrei farlo solo in parte e anche con molte difficoltà.

Questa situazione è simile al seguente scenario di tipo economico. Supponiamo che io possegga 1000 Euro. Ma in relazione a questo vi sono due casi possibili. Il primo caso è quello nel quale io posseggo 1000 Euro depositati in banca sul mio conto corrente. Il secondo caso è invece quello nel quale i 1000 Euro che posseggo sono composti da 100.000 monetine da 1 centesimo racchiuse nei cassetti della mia scrivania. E’ chiaro che in entrambi i casi posseggo sempre 1000 Euro. Ma nel secondo caso la somma posseduta è molto, ma molto più difficile da utilizzare.

Una situazione concettualmente simile avviene in relazione alla energia posseduta dai corpi. Boltzmann sostiene che, proprio a causa del fatto che un corpo è formato sempre da tanti atomi, il calore da esso posseduto è sempre riconducibile alla energia (di movimento) dei singoli atomi. Ma questa energia può essere più o meno “degradata”. Se il moto degli atomi è “disordinato”, come nel caso del gas contenuto nel recipiente pressurizzato, l’energia è molto più degradata rispetto al caso della biglia di ghiaccio, in cui il moto di tutti degli atomi è molto “ordinato”, muovendosi tutti in un’unica direzione.

Seguendo questo ragionamento, si può affermare che l’Entropia di un sistema, già introdotta da Clausius per definire il secondo principio della Termodinamica, non è altro che il livello di “disordine” del sistema che viene considerato.

Ordine e Disordine

Boltzmann però non utilizzava i concetti di ordine e disordine per rappresentare l’Entropia. Ciò anche in quanto, quando parliamo di ordine, dobbiamo metterci d’accordo su come “quantificare” in termini numerici il grado di ordine. L’ordine (o il disordine) è difficilmente quantificabile di per sé. Ciò che è ordinato per qualcuno, potrebbe non esserlo per qualcun altro, e un Fisico deve sempre essere in grado quantificare tutto ciò che osserva.

E allora Boltzmann classificava le cose osservate non in quanto più o meno ordinate ma in termini di macrostati e microstati. Facciamo un esempio di macrostato. In una libreria abbiamo due scaffali a disposizione e una serie di 20 libri di storia da distribuire fra di essi. Supponiamo di metterli tutti sul primo scaffale e di lasciare vuoto il secondo. Questo è un primo possibile macrostato della libreria.

Un secondo possibile macrostato è quello in cui abbiamo 19 libri sul primo scaffale ed un solo libro sul secondo. Un terzo macrostato vedrà 18 libri sul primo scaffale e 2 libri sul secondo e così via.

Ogni macrostato può essere realizzato in diversi modi, o per meglio dire, attraverso diversi microstati. E’ evidente che il primo macrostato, può essere realizzato in un modo solo, cioè ponendo tutti i 20 libri sul primo scaffale e nessuno sul secondo. Si può dire esso si realizza attraverso un unico microstato.

Il secondo macrostato invece può essere realizzato in 20 modi diversi; infatti potrei porre sul secondo scaffale un libro a scelta fra i 20 disponibili, per cui si può dire che il secondo macrostato si realizza attraverso 20 possibili microstati.

Con l’ausilio del calcolo combinatorio, che non voglio però ora dilungarmi a illustrare, si dimostra che il terzo macrostato potrebbe essere realizzato in 190 modi diversi, cioè tutti i modi in cui potrebbero essere scelti i due libri da porre sul secondo scaffale.

Andando avanti in questo modo, sempre utilizzando il calcolo combinatorio, si può dimostrare che il macrostato realizzabile attraverso un maggior numero di microstati è quello che vede 10 libri disposti sul primo scaffale e 10 disposti su secondo scaffale. In questo caso infatti, il numero di combinazioni con cui potrei scegliere i 10 libri da porre sul secondo scaffale, fra tutti i 20 disponibili, è 184.765.

E’ anche intuitivamente osservabile che, distribuire i 20 libri in parti uguali su entrambi gli scaffali è il modo più disordinato possibile di riporre i libri sugli scaffali. Infatti se devo ricercare un libro è preferibile averli tutti o quasi tutti su un unico scaffale dato in tal modo la probabilità di ritrovare un libro, senza doverlo andare a ricercare anche sull’altro scaffale, è più alta.

Possiamo applicare questo metodo ad un gas contenuto in un recipiente come illustrato dalla seguente figura.

Supponiamo di avere due recipienti separati da una parete stagna, come visualizzato nella parte sinistra della figura relativa al Macrostato A; in questo caso tutte le molecole del gas si trovano nel recipiente di sinistra mentre il recipiente di destra è completamente vuoto. Questa è una situazione di massimo ordine, in cui esiste un unico microstato, e che simile alla situazione in cui tutti i libri si trovavano su un unico scaffale.

Se apriamo una fessura sulla parete divisoria, come visualizzato nel Macrostato B, le molecole di gas cominceranno a fluire nel recipiente di destra e le situazioni che verranno a crearsi saranno di sempre maggior disordine. I microstati possibili aumenteranno sempre di più, fino ad arrivare al massimo che si ottiene al raggiungimento del Macrostato C, quando un ugual numero di particelle sarà mediamente presente in entrambi i recipienti.

E’ importante osservare che il processo procede “spontaneamente” verso le situazioni col maggior numero di microstati, ossia quelle di maggior disordine, proprio come quella in cui sui due scaffali venivano posti un eguale numero di libri. Da ciò si deduce che i sistemi tendono in modo spontaneo ad evolvere dall’ordine verso il disordine. Per riportarli ad uno stato più ordinato occorre “consumare energia”. Nel caso dei due recipienti potrebbe essere l’energia di una pompa che sarebbe necessaria per ricreare il vuoto nel recipiente di destra. Nel caso dei due scaffali sarebbe necessario un lavoro manuale per riportare tutti i libri sul primo scaffale.

Concludendo il precedente ragionamento possiamo dire che Boltzmann definisce quantitativamente il disordine di un sistema, o per meglio dire, l’Entropia S di un sistema, mediante il numero dei microstati possibili. Il macrostato realizzabile attraverso un solo microstato ha Entropia minima (uguale a 0). I macrostati tendono spontaneamente ad evolvere in altri macrostati che si realizzano attraverso un numero sempre maggiore di microstati; durante questo processo l’Entropia aumenta sempre fino a raggiungere un valore massimo che corrisponde al massimo numero di microstati possibili.

Boltzmann, attraverso il calcolo delle probabilità ed il calcolo combinatorio, ha anche generato una equazione, chiamata equazione di Boltzmann, che definisce il valore dell’entropia S:

S = K Log W

In questa equazione il termine W rappresenta proprio il numero di microstati, e la entropia S è uguale al suo logaritmo a meno di una costante k chiamata costante di Boltzmann. Questa equazione conferma quanto precedentemente detto. Infatti quando W=1 (un solo microstato) S vale 0 poiché il logaritmo di 1 è proprio 0. All’aumentare del numero di microstati l’Entropia aumenta secondo una progressione logaritmica fino a un valore massimo che è dettato dal massimo numero possibile di microstati.

Se il mondo è fatto di un numero finito di molecole, l’entropia S, anche se cresce spontaneamente, non potrà mai raggiungere un valore infinito, in quanto il numero dei microstati possibili, anche se enormemente grande, dovrà necessariamente essere finito.

Si deve comunque notare che la precedente affermazione è vera solo si ipotizza che la materia sia “discreta”, composta cioè da particelle che non possano essere ulteriormente suddivise. Se si ipotizzasse che la Materia fosse “continua” allora non vi sarebbe mai un valore limite di crescita dell’Entropia. In altre parole il mondo non sarebbe destinato a finire in uno stato di massima Entropia ove nessuna altra evoluzione fosse più possibile.

Questa era una ulteriore critica che veniva fatta a Boltzmann, e cioè il fatto che con la sua visione particellare della Materia, egli condannava l’Universo ad una evoluzione che lo portava prima o poi alla morte e non vi era nessuna speranza di ritorno.

Coloro che liquidavano la teoria di Boltzmann in modo così semplicistico, non tenevano però conto del fatto che le innumerevoli situazioni in cui dalla materia inanimata potrebbero potenzialmente emergere fenomeni nuovi ed inaspettati, come ad esempio la vita, possono verificarsi proprio grazie a questo continuo flusso di tutte le cose da uno stato di ordine verso uno di disordine.

Infatti, anche se a livello globale l’intero Universo si espande continuamente e si raffredda, passando dall’ordine al disordine, “localmente” si possono creare tante situazioni particolari, prodotte, ad esempio, dalla forza di gravità che contribuisce alla nascita delle stelle. In zone molto localizzate si possono concentrare porzioni di materia che generano un nuovo Sole, il quale a sua volta genera pianeti, sui quali la materia ha l’opportunità di aggregarsi “temporaneamente” in strutture biologiche sempre più ordinate e complesse. Da notare che “temporaneamente” significa molte centinaia di milioni di anni.

Questo flusso continuo di materia, generatosi dal Big Bang in poi, la cui entropia globale è in continuo aumento, sembra assomigliare allo scorrere del fiume che scende verso il mare passando anch’esso dall’ordine al disordine.

Inizialmente, l’acqua del fiume è imprigionata in un ghiacciaio, ad alta quota.

Cosa c’è di più perfetto ed ordinato dei molteplici strati di ghiaccio, che si formano annualmente sopra il ghiacciaio, come risultato delle tante nevicate stagionali?

Ma durante l’estate il calore scioglie il ghiaccio e l’acqua, in modo certamente disordinato, scende sui fianchi dei monti e nella valle. Il disordine aumenta e diventa massimo quando il fiume si getta nel mare e le sue acque si perdono per sempre.

Tuttavia, durante questo processo possono nascere innumerevoli opportunità. A metà strada, tra la sorgente del fiume e la valle, un’ansa della montagna può frenare il fiume ed un lago si potrebbe formare. Quante forme di vita vegetale o animale hanno qui l’opportunità di nascere e crescere in modo ordinato! E poi l’uomo stesso può decidere di utilizzare parte del flusso dell’acqua, creando un canale parallelo per dare energia alle pale di un mulino. Quanto ordine può essere di nuovo creato sfruttando un flusso disordinato di energia!

Tutto ciò ci dice che il processo naturale che va dall’ordine verso il disordine non è un fenomeno che deve rattristarci, bensì esso ci offre tante opportunità che sarebbero altrimenti inesistenti.

Le macchine a vapore di cui abbiamo parlato in precedenza fanno anche esse parte di queste opportunità. Esse rendono possibile sfruttare una forma di energia non degradata come quella del carbone o del petrolio all’interno di un ciclo di trasformazioni energetiche il cui risultato finale è, da un lato, la produzione di energia meccanica sfruttabile per vari scopi e, dall’altro, il rilascio nell’ambiente di energia termica degradata e non riutilizzabile.

Quest’ultima, purtroppo, contribuisce alla degradazione complessiva dell’ambiente. Però ora si conosce il meccanismo che è alla base di queste trasformazioni ed è possibile accrescere il rendimento delle macchine in modo tale da diminuire al massimo l’inquinamento prodotto.

Come ultima considerazione vorrei dire che Boltzmann può certamente essere considerato il primo ad aver contribuito alla rinascita del modello atomico di Democrito. Egli però, contrariamente ai fisici delle particelle elementari ed allo stesso Democrito, non sostenne mai che le particelle avessero un comportamento “intrinsecamente” probabilistico.

Per Boltzmann la teoria della probabilità era solo lo strumento più adatto a modellare il comportamento delle particelle stesse. Non riteneva che gli strumenti della dinamica classica fossero errati in quanto tali, ma solo inadeguati a trattare il comportamento delle particelle a causa della loro piccolezza e del loro enorme numero.